1．稳恒磁场的高斯定理
对闭合曲面而言，一般规定取向外的指向为正法线的指向，这样，磁感应线从闭合面内穿出对磁通量的贡献为正，穿入磁感应线对磁通量的贡献为负。由于磁感应线是闭合线，因此穿人闭合曲面的磁感应线数目必然等于穿出闭合曲面的磁感应线数目，所以通过任一闭合曲面的总磁通量必然是零，亦即
上式称为稳恒磁场的高斯定理，是电磁场理论的基本方程之一，与静电学中的高斯定理 对比，可见，静电场是静止电荷产生的，是有源场，其电场线不闭合，起于正电荷，收于负电荷。而稳恒磁场的高斯定理告诉我们，磁场是无源场，其磁感应线无头无尾，是闭合的。磁场与静电场这一属性的差异起源于自然界有单独存在的正、负电荷，但没有单独存在的磁荷，即磁单极。
2．安培环路定理
我们知道对于静电场而言，有环流定理： ，即静电场是一个保守力场，并可由此引人电势这个物理量来描述静电场。对由恒定电流所激发的磁场，我们同样要问：磁感应强度沿任一闭合曲线的线积分 (又称，矢量的环流）是多少？它和电流有何关系？由于 线总是闭合曲线，可以预期，对任一闭合曲线，的环流可以不为零。和 矢量的环流不同,矢量的环流不具有功的意义，但它的规律却揭示了磁场的一个重要特性。
下面通过长直载流导线周围磁场的特例具体计算沿任一闭合路径的线积分。
已知长直载流导线周围的滋感应线是一组以导线为中心同心圆（图8-17（a））。在垂直于导线的平面内任意作一包围电流的闭合曲线 （图8-17（b）），线上任一点 的
磁感应强度为
式中 为导线中的电流,  为该点离开导线的距离。由图可知， ，所以按图中所示的绕行方向沿这条闭合曲线矢量的线积分将为
如果闭合曲线不在垂直于直导线的平面内，则可将上每一段线元 分解为在垂直于直导线平面内的分矢量 。与垂直于此平面的分矢量 上，所以
积分结果与上相同。如果沿同一曲线路径但改变绕行方向积分（图8-17（c）），则得
积分结果将为负值。如果把式中的负号和电流流向联系在一起，即令 ，就可认为对闭合曲线的绕行方向来讲，此时电流取负值。即如果所取积分的绕行方向与电流流向满足右手螺旋法则关系，则电流为正，相反的电流为负。
以上计算结果表明, 矢量的环流与闭合曲线的形状无关，它只和闭合曲线内所包围的电流有关。如果所选闭合曲线中没有包围电流（图8-17（d）），此时我们从 点作闭合曲线的两条切线 与 ,切点和 把闭合曲线分割为 和 两部分。按上面同样的分析，可以得出
即闭合曲线不包围电流时矢量的环流为零。
以上结果虽然是从长直载流导线的磁场的特例导出的，但其结论具有普遍性，对任意几何形状的通电导线的磁场都是适用的。
式(8-48)表达了电流与它所激发磁场之间的普遍规律，称为安培环路定理，可表述如下
在磁场中，沿任何闭合曲线矢量的线积分（也称矢量的环流），等于真空的磁导率乘以穿过以这闭合曲线为边界所张任意曲面的各恒定电流的代数和。
式（8-48）中的电流的正、负与积分时在闭合曲线上所取的绕行方向有关，如果所取积分的绕行方向与电流流向满足右手螺旋法则关系，则电流为正，相反的电流为负。例如，如图8-18所示的三种情况,沿各闭合曲线的线积分分别为
应当注意，定理中的只是穿过环路的电流，它说明的环流 只和穿过环路的电流有关，而与未穿过环路的电流无关，但是环路上任一点的磁感应强度却是所有电流（无论是否穿过环路）所激发的场在该点叠加后的总场强。另外，定理仅适用于闭合的载流导线，而对于任意设想的一段载流导线是不成立的。
矢量的环流不一定等于零，表明磁场不是保守力场，是有旋场，因此一般不能引进电势的概念来描述磁场，这说明磁场和静电场是本质上不同的场。
3．安培环路定理的应用
安培环路定理以积分形式表达了恒定电流和它所激发磁场间的普遍关系，而毕奥-萨伐尔定律是部分电流和部分磁场相联系的微分表式。原则上两者都可以用来求解已知电流分布的磁场问题，但当电流分布具有某种对称性时，利用安培环路定理才能很简单地算出磁感应强度。在应用安培环路定理求解磁感应强度时，与应用高斯定理求解电场要对电荷和电场分布作一预分析一样，首先应对电流和磁场的分布有一个定性的分析，通过所求场点能否找到一条合适的积分回路，使该回路上各点的磁感应强度都相等，或者在该回路某些线段上均匀相等，而在其余部分的磁感应强度为零或磁感应强度方向与回路方向垂直使· =0，如果满足这些条件才能对构造的积分回路应用安培环路定理，通过计算该回路所包围的电流求解出磁感应强度。下面举几个例子来说明。
（1）长直圆柱形载流导线内外的磁场
设圆柱截面的半径为 ,恒定电流沿轴线方向流动，并呈轴对称分布，当所考察的场点（或)离导线的距离比（或)点离导线两端的距离小得很多时，可以把导线看做是无限长的。在这区域内，磁场对圆柱形轴线具有对称性，磁感应线是在垂直轴线平面内以轴线为中心的同心圆（图8-19（a））。过点（或点）取一半径为的磁感应线为积分回路，由于线上任一点的的量值相等，方向与该点的的方向一致，所以，矢量的环流为
如果 （图中点），全部电流穿过积分回路，由安培环路定理得
即
由此可见长圆柱形载流导线外的磁场与长直载流导线激发的磁场相同。
如果 ，即在圆柱形导线内部，考虑两种电流分布：
（a）当电流均匀分布在圆柱形导线表面层时，穿过积分回路的电流为零，由安培环路定理
 有  。
（b）当电流均匀分布在圆柱形导线截面上时，则
可见在圆柱形导线内部，磁感应强度和离开轴线的距离成正比。两种情况下，感应强度与离轴线距离的关系曲线如图8-19（b）（c）所示。
（2）载流长直螺线管内的磁场
设有绕得很均匀紧密的长螺线管，通有电流，由于螺线管相当长，所以管内中间部分的磁场可以看做是无限长螺线管内的磁场，这时，再根据电流分布的对称性，可确定管内的磁感应线是一系列与轴线平行的直线，面且在同一磁感应线上各点的 相同。在管的外侧，磁场很弱，可以忽略不计。
为了计算管内中间部分的一点的磁感应强度，可以通过点作一矩形的闭合回路 ，如图8-20所示。
设螺线管的长度为 ，共有 匝线圈，则单位长度上有 匝线圈，通过每匝线圈电流为,所以回路所包的电流总和为 ，根据右手螺旋法则应为正值。于是，由安培环路定理，得
所以
由于矩形回路是任取的，不论 段在管内任何位置。因此，无限长螺线管内任一点的值均相同，方向平行于轴线，即无限长螺线管内中间部分的磁场是一个均匀磁场。上式与根据毕奥–萨伐尔定律算出的结果相同，但应用安培环路定理的计算方法比较简便。
（3）载流螺绕环内的磁场
绕在环形管上的一组圆形电流形成螺绕环，如图8-21所示。如环上的线圈绕得很紧密，则磁场几乎全部集中在螺绕环内，环外磁场接近于零。由于对称性的缘故，环内磁场的磁感应线都是一些同心圆，圆心在通过环心垂直于环面的直线上。在同一条磁感应线上各点磁感应强度的量值相等，方向处处沿圆的切线方向，并和环面平行。
(a) |
(b) |
图 8-21 |
为了计算管内某一点的磁感应强度，可选择通过点的磁感应线作为积分回路，由于线上任一点磁感应强度的量值相等，方向都与 同向，故得矢量的环流
式中为回路半径。设环上线圈的总匝数为,电流为，则由安培环路定理得
计算出点磁感应强度为
当环形螺线管的截面积很小时，管的孔径 比环的平均半径小得多时，管内各点磁场强弱实际上相同。因而可以取圆环平均长度为 ，则环内各点的磁感应强度的量值为
式中 为螺绕环单位长度上的匝数，的方向与电流流向成右手螺旋关系。 |
上，以及在线段
和
的位于管外部分，因为在螺线管外，
。在
,但
与
到
