3-5 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
  

例题3-5-1  一匀质细棒长为 ，质量为，可绕通过其端点的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为 ，它与地面的摩擦因数为。相撞后物体沿地面滑行一距离而停止。求相撞后棒的质心 离地面的最大高度，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。

解： 这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，其余内力与外力都不做功，所以机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能零点，用表示棒这时的角速度,则
                      （1）
    第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对转轴的外力矩为零，所以，这个系统的对轴的角动量守恒。我们用表示物体碰撞后的速度，则


                        （2）
    式中为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。
    第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为
                                      （3）
    由匀减速直线运动的公式得 
            
    亦即
                                         （4）
    由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
                               （5）
    当取正值，则棒向左摆，其条件为 亦即当取负值，则棒向右摆，其条件为亦即。
    棒的质心上升的最大高度，与第一阶段情况相似，也可由机械能守恒定律求得：
                                 （6）
    把式（5）代入上式，所求结果为