1. 质点系的动能定理

现在，我们把单个物体(质点)的动能定理推广到由若干物体(质点)组成的系统。设一有个质点组成的质点系，其中第个质点所受外力的功为，内力的功为，初速度为，末速度为。运用单个质点的动能定理，可得：
                    ()
    对上述个方程等式两边分别相加，得：
            
    其中，    为外力对质点系的总功；
     为内力对质点系的总功；
     为质点系的末态总动能；
     为质点系的初态总动能。
     即有：      

上式就是质点系的动能定理： 所有外力和内力对系统所作的功之和等于系统总动能的增量。

2. 系统的功能原理

质点系的内力可分为保守内力和非保守内力，因此，内力的总功也可分成保守内力的总功和非保守内力的总功。上述质点系的动能定理可表示为：
            
    由于保守内力的功总可用系统势能增量的负值表示，
            
    代入上式后，可得：
            
    式中为质点系的总机械能，为总机械能的增量。上式表明，质点系在运动过程中，所有外力的功和非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量，这一结论称为质点系的功能原理。

说明一

说明二

3、机械能守恒定律

由功能原理
            
    若  ，则有
               
    即    
    上式称为机械能守恒定律：如果系统内只有保守内力做功，外力和非保守内力都不做功，或者它们的总功为零，则系统内的动能和势能可以转化，各质点间的机械能也可以互换，但保持系统的总机械能不变。
    如：作无阻尼自由振动的弹簧振子系统，由于不考虑摩擦力的作用，只有保守内力（弹性力和重力）作用，外力和非保守内力都不做功，因此，系统的机械能守恒。相反地，对于考虑摩擦的阻尼振动，由于存在非保守力（摩擦力）做功，系统的机械能就不再守恒。

如果系统内除保守力外，还有非保守力在做功，则系统的机械能必将发生变化，这时机械能不再守恒。但是，人们发现，系统的机械能减少或增加的同时，必然有等值的其他形式的能量在增加或减少，而使系统的机械能和其他形式的能量的总和保持不变。由此可见，机械能守恒定律仅是上述情况的一个特例，自然界还存在着比它更为普遍的定律。

4、能量守恒定律

一个与外界没有相互作用的系统称为孤立系统。对孤立系统，外力的功当然为零，即  则
            
    上式表明，如果系统状态变化时，有非保守内力做功，它的机械能当然就不守恒了。但大量实验证明，一个孤立系统经历任何变化过程，系统内各种形式的能量总和是不变的，能量只能从一种形式转化为另一种形式，或从系统内的一个物体传递给另一个物体。这就是能量转化和守恒定律。它是物理学中具有最大普遍性的定律之一。

若，表明系统内机械能增加，其他形式的能量转化为机械能。
    若，表明系统内机械能减少，机械能转化为其他形式的能量。

能量转化和守恒定律是自然界最基本的规律之一。一方面，自然界一切已经实现的过程无一例外遵守着这些守恒定律。如果发现有所违反，那常常因为过程中孕含着还未被认识的新事物。于是人们就按守恒定律要求去寻找和发现新事物。20世纪物理学的发展过程中有不少这样的事例。

另一方面，凡违背守恒定律的过程就是不能实现的，因此可根据守恒定律判断哪些过程不可能发生，哪些构想不可能实现。历史上曾有许多人企图发明一种“永动机”，它不消耗能量而能连续不断地对外做功，或消耗少量能量而作大量的功。这种设想违反能量守恒定律，这类永动机只能以失败而告终。此外，利用守恒定律研究物体系统，可不管系统内各物体的相互作用如何复杂，也不问过程的细节如何，而直截了当地对系统的始末状态的某些特征下结论，为解决问题另辟新路子，这也是守恒定律的特点和优点。