第20章  光的干涉和衍射
    【例20-1】在四缝夫琅禾弗干涉实验中，采用单色的波波长为，每缝缝宽，相邻缝间不通光部分的宽度，四缝前所用透镜的焦距，光屏放在焦平面上，试画出在光屏上离中央明条纹到10厘米范围内光强分布的大致情况。
【解】画此光强分布图应从以下四方面考虑：
1、单缝衍射因子的影响：单缝衍射包迹暗条纹的位置满足：
                               （1）
    即：
    由题设，又，所以衍射角很小，所以有，因此包迹暗条纹的位置：
       处
   即：相应
2、四缝干涉明条纹位置：
                           （2）
    即：
       
    在厘米范围内，取K=0，1，2，……8，相应的x为：0，1.25，2.5……10厘米。
3、与重迭处为缺级位置，（2）式比（1）式得：
       
       
    即：和2处；K=4和8明条纹位置为缺级。
4、四缝干涉中应有个暗纹位置，有个次明位置，根据以上讨论可大致画出这单缝衍射对四缝干涉调制后的光强分布图。如图20-1所示。
【例20-2】图a为检查块规的装置，为标准块规，为待测上端面的块规，用波长为的平行光垂直照射，测得平晶与块规之间空气劈尖的干涉条纹如图所示，对于与和的条纹间距分别为和，且。若将转过，两侧条纹均比原来密。
（1）判断并在图c中画出规上端面的形貌示意图；
（2）求规左、右侧与的高度差。

【解】（1）可以想象待测块规端面误差放大后的正视图，只有这样才满足题意。
（2）左右干涉条纹的数目分别为：
     ，
平晶与标准块规之间的夹角，
可得待测块规右边比标准块规高：
 
左边待测块规比标准块规高 
【例20-3】在牛顿环实验中，由于平凸透镜的凸面与平面玻璃之间难免有接触不好或压得过紧的情况出现，试导出这种情况下的牛顿环公式，并计算离中心r处干涉条纹的宽度。

【解】设平凸透镜凸面与平面玻璃之间存在着一气隙，气隙的厚度为，如图20-3所示。由于r<<R
图中，，平凸透镜凸面和平面镜两条反射光线的总光程差
     
明条纹条件：
        即：                    （1）
        得：
暗条纹条件：
        即：
        得：                         （2）
对离环心较远r处各级明暗条纹间距计算方法有三：
方法一，，如直接用（2）式计算，则较烦，可采用
   
得：
    式中可近似看作两环平均距离r的2倍，所以上式可写成：
           得：
方法二，将式或微分。由于为恒量，得：。因求某级明条纹或暗条纹间距，取，得。
方法三，在r附近极小的区域内，球面的一小部分与平面玻璃相当于劈尖的一小部分。由图不难看出，在球面r处作一切平面，与平面玻璃的夹角即为图中的角，，利用劈尖干涉条纹间距公式，同样可得在r处牛顿环条纹间距
       
此式表示，离环心r处的条纹间距与以及该处干涉级数K无关。这与平行薄膜形成的等倾干涉的圆环形干涉条纹有明显的区别，而在等倾干涉中离环心r处的干涉条纹间距随薄膜的厚度增大或该处干涉级数K增大，条纹间距减小或条纹变密。
【例20-4】如图20-4a所示，长为的柱面透镜一端与平板玻璃相接触，一端与平板玻璃相隔很小高度，柱面透镜的曲率半径为。试求：
（1）在波长为的单色光垂直照射下（z轴负方向），试判别所观测到的干涉条纹的大致形状；
（2）沿透镜长度方向第N个暗条纹距接触点的距离为多少？
（3）沿透镜长度垂直方向第N个暗条纹距接触点的距离又为多少？

【解】（1）在的平面，该平面与柱面透镜的截面形状如图b所示。在z方向的引起的光程差类同例20-3。
     为暗条纹
式中  ， 代入上式
得：   为K级暗条纹方程
即干涉条纹的形状为 的抛物线方程。
取K为0，1，2，……形成相应的各级干涉暗条纹，如图c所示。（注：严格地说，等厚干涉的等厚处与柱面相交应形成椭圆方程。由于本题中的干涉条纹只是椭圆方程中的极小一部分，所以如上数学处理，近似为抛物线方程）

（2）沿y方向相当于劈尖干涉。
       
      得：
（3）沿x方向相当于牛顿环的干涉条纹在抛物线方程中，
      令y=0，并将K换写成N，得 
【例20-5】如图20-5a所示的偏振光干涉装置中，C是劈尖角很小的双折射晶片，折射率，、的偏振化方向相互正交，与光轴方向皆成角。若以波长为的单色自然光垂直照射，试讨论：
（1）通过晶片C不同厚度处出射光的偏振态；
（2）经过偏振片的出射光干涉相长及相消位置与劈尖厚度d之间的关系，并求干涉相长的光强与入射光光强之比；
（3）若转动到与平行时，干涉条纹如何变化？为什么？
（4）若改用白色自然光照射，干涉条纹又将作何变化？

【解】请先回顾例19-2。
（1）当晶片厚度满足时，即处，为全波片。经过该处的出射光为振动方向与偏振化方向相同的偏振光。
当晶片厚度满足时（K=0，，……），即处为半波片，经过该处的出射光振动方向与偏振化方向相同的偏振化方向相同的偏振光。
当晶片厚度满足时，即处，为或波片。经过C后的出射光线为圆偏振光。
晶片厚度不满足上述情况的，经过C后的出射光线均为椭圆偏振光。
（2）经过的两相干光的光程差
        
即：，相当于半波片时为相长干涉。设自然光经过后的光振幅为A，由图20-5b可知经过后的光振幅，所以经过的偏振光与通过的偏振光强相同，也为。
当经过的两相干光的光程差       
      即：（相当于全波片时）干涉相消，出射光强为零。
（3）转动到与平行时，经过晶片C的o光与e光的光振动在上的投影不再有附加光程差，因为与（2）中的相长与相消干涉条纹为互换。
（4）用白光照射时，各种波长相应的半波片与全波片相应的厚度就在不同的位置。因为出现与晶片棱边相平行的彩色干涉条纹。
【例20-6】如图20-6a所示，在两偏振片和之间插入一波片，波片的光轴与的偏振化方向间成角，入射的单色自然光光强为。若旋转，试计算经过的最大光强，最小光强以及平行于偏振化方向时的光强。

【解】本题通过偏振光干涉所作的光强计算给出了椭圆偏振光经偏振片后干涉叠加的过程。
自然光经偏振片后成为线偏振光，其光强为。线偏振光在波片C中分成o光和e光，经过波片后的位相差为，振幅分别为（见图b）。
      
      
经过波片后为椭圆偏振光，其长轴沿波片的光轴方向，短轴垂直于光轴。
转动偏振片，当其偏振化方向与光轴平行时，经过的光强最大：
       
当的偏振化方向转到与光轴垂直时，经过的光强最小：
       
当的偏振化方向转到与偏振化方向平行时，经过波片的两束光在偏振化方向的分量为（见图b）
      
      
两光的位相差为，经过偏振片后的干涉光强为：
       
【例20-7】波长为的单色光照在各缝相邻间距为d的三缝上，设每缝的缝宽都很窄，在衍射角较小的范围内忽略单缝衍射因子的影响。
试证明三缝干涉的光强分布为： 
【证明】相邻缝间在衍射角方向上光波的光程差如图20-7a所示。
              
相应的相位差  
设各缝光矢量的振幅为、、，它们的大小都相等为，三缝三光矢量合成图如图b所示。合振幅
 
 或
 
    
三缝干涉的光强分布
               得证。


三缝干涉的光强分布如图c所示。

为便于理解光强分布图的意义，我们将光强分布图上的①②③④位置处的三缝各光矢量、、的合成情况画在图d中，可知：
    干涉主极大位置满足     
      干涉极小位置满足       
                    和       
 
【例20-8】如图20-8a所示的三缝装置在单色平行光照射下，在透镜焦平面上形成干涉图样，已知缝间距为d，缝宽比d小得多，忽略单缝衍射因子的影响。透镜焦距为f，入射光的波长为。若在三缝装置的中缝前贴上光程差为的薄膜，在透镜焦平面上光强如何分布？并大致画出光强分别曲线。


【解】衍射角为时，相邻两缝出射光的光程差
    
相邻光线的位相差     
1、2两缝光线的位相差为，1、3两缝光线的位相差为。设各缝出射光的光振幅，中缝未加薄膜时光振幅矢量合成如上例图20-7b所示。在中缝前加上薄膜，在同一衍射角的情况下，相邻缝的出射光之间的位相差改变，1、2缝出射光的位相差为，1、3缝出射光的位相差未受影响，仍为，它的光矢量图如20-8b所示。从光振幅矢量合成图上可求得图a中P点合成光的振幅：
  即： 
      
光强分布函数
 
  
      
当，，1，2，……时，
     ，为干涉极大；
当，，1，2，……时，
     ，为干涉极小。
光强分布曲线如图20-8c所示。

【例20-9】设、两球面波相干光源，相距很近，间距为a，如图20-9a所示。
（1）试讨论两相干光源的干涉场，并画出空间光强分布；
（2）分别画出垂直于x轴的光屏A和垂直于y轴的光屏B上的明条纹分布。


【解】（1）两相干光源、到空间任一点P的位相差由图b可得： 
相干极大条件为     或 
由图20-9b可知，其中，时，零级干涉极大为平面；，，一级干涉极大为以x为轴的旋转双曲面；，，二级干涉极大为旋转双曲面。空间光强极大区域是一系列绕x轴旋转的双曲面，如图20-9c所示。

（2）垂直于x轴的光屏A上的干涉图样应是一系列旋转双曲面与A屏的相贯线，为以x轴为中心的一组同心圆，如图d所示。设屏离光源较远，两光源发出的光到达屏上P点的光程差，光程差由倾角决定，中心干涉条纹级次最高，向外逐渐降低。
垂直于y轴的光屏B上的干涉图样应是一系列旋转双曲面与B屏相贯线，为一系列对称的曲线，如图e所示。


【例20-10】试证明迈克耳逊干涉仪中的条纹移动实际上也是一种相对论效应。
【证明】第一步，用相对论效应导出光的多普勒效应。
设光源以速度相对于观察者运动。见图20-10a可得光对观察者的波长为：
   
式中T为光源发射一个波长所用的时间。由于光源相对于观察者在运动。相对于观察者运动的钟变慢。
代入上式：
          
可改写成：          也就是：
式中为观察者所测得的频率，是相对于光源静止坐标系内的光源发射的光波的频率。
在光源相对于观察者运动的速度不太大时（）
  


第二步，用光的多普勒效应公式导出迈克耳逊干涉仪中的条纹移动公式。
见图20-10b所示的迈克耳逊干涉仪。固定镜反射光照到光屏处的光屏仍为光源S的光频而反射镜在相对于光源S运动时，接收到光频。由光的多普勒效应公式
        
由于在以速度运动，作为反射光的光源，再一次应用多普勒效应公式，反射光的频率
     
因为所以光屏接收到反射的光频可近似表示为
       
这一光频与反射镜照射到光屏上的光频产生拍频
       
式中为运动的距离和时间的比值即代入上式：
       
由此得：
式中为光强在屏上每秒钟改变的次数，是在运动中所用的时间。所以在此过程中光屏上光强的变化次数即干涉条纹变化的次数。这样本题得到了证明。