第14章  稳恒磁场
【例14-1】无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图14-1a所示），空腔与导线的两轴线平行，间距为，若导体内的电流密度均匀为，的方向平行与轴线。求腔内任意点的磁感应强度。

【解】半径为R的无限长圆柱形直线电流在柱体内离轴线r处的磁感应强度可根据安培环路定理：
      
   即：
   得：
写成矢量形式：
现在在这圆柱形导线内有一空腔，则和原实心圆柱体内在该圆柱形空腔处有一反向电流，迭加是等效的，反向电流在空腔处产生的磁感应强度：
   
由迭加原理，腔内的磁感应强度
   
由导线的横截面图b，可得：  
   
此式表明空腔内是一均匀磁场，它的大小，它的方向垂直于，亦垂直于。
【例14-2】面积为S载流为I，任意形状的平面线圈，它的平面法向单位矢量为，它的磁矩，求证在离线圈中心远大于线圈线度的r处的磁感应强度，即磁偶极子的磁感应强度。

【证明】第一步先求如图14-2a所示在线圈轴线方向上，离线圈中心处A点的磁感应强度B。由毕奥-萨伐尔定律可知，线圈上电流元在离它处的磁感应强度
      
为便于分析其几何关系，将放大、缩小后画成图1（b），式中的方向垂直于和所组成的平面，在轴线上分量
 
从图1（b）中不难看出为和所组成的平行四边形面积，即以A为顶点，为底边的三角形面积的2倍。而表示以A为顶点为底边的三角形在线圈所在平面上投影面积的2倍，也就是以线圈中心O为顶点为底边的三角形面积的2倍，因此上式可写成  
式中就是图（b）中的阴影面积，由于所设场点A离线圈中心距离r远大于线圈的线度，故离A点的距离非常接近于r，上式积分中可看作常量r，因此
      
在垂直轴线方向的分量 
由于所设r远大于线圈的线度，所以非常接近1，非常接近于r，可将近似表示为如下矢量形式 
将沿闭合回路积分，由于r为恒量，所以
        
因此在图1（a）条件下，磁偶极子产生的磁感应强度
  

第二步，如图2（a）所示，求在远离磁偶极子的处在线圈所在平面上磁感应强度。
由毕奥-萨伐尔定律可知，和都在线圈所在的平面上，线圈上任意一电流元所产生的都垂直于线圈所在平面，它的大小。为分析其几何关系，将放大、缩小后画成图2（b）。由场点A向线圈引两条割线，截得两电流元和，这两电流元在场点A处产生的磁感应强度大小分别为：
             
式中和分别表示由和及和所组成的平行四边形面积和。由图2（b）可以判别，这两电流元在A处产生的磁感应强度方向相反，这两电流元产生的总磁感应强度
    
由于所设r远大于线圈的线度，所以，且A点想线圈所引的两条割线几乎平行，所以上式可近似表示为：
    
式中的就是和和两割线间所夹的阴影部分面积，因此整个线圈在A点所产生的磁感应强度可近似表示为
    
写成矢量形式  
第三步求与磁偶极子成方位角的处的磁感应强度，如图3所示。
由毕奥-萨伐尔定律
 
   
   
式中和是线圈上电流元分别在垂直于的平面上的投影及在与所组成的平面上的投影。这相当于将磁偶极子分解成，，参照第一步和第二步结论，再判别方向后可得  
      
式中为径向单位矢量，为横向单位矢量。

 
【例14-3】空间某区域磁感应强度的方向平行与y轴，其量值随x的变化关系如图所示。试求该区域中的电流密度的量值及方向。


【解】题图的磁感应图线的函数式
  
在xy平面上某一区域的磁感应线如图分布。并在xy平面内作一闭合回路。由安培环路定理
     
       即   
式中为回路所包围的小区域内沿z方向的传导电流密度的平均值，当时，即得x处的传导电流密度的准确值，即：

所以，在区域内

在和区域，即无传导电流也就是。

【例14-4】如图14-4a图所示，为垂直于纸面无限长导线中的电流，为纸面内一段导线中的电流，a为纸面内一段导线的长度，b为两导线间垂直距离。求通有导线所受的力。


【解】由安培定律有限长导线2上电流元所受的安培力的大小
      
由图b可以判别导线2上各电流元所受安培力的方向都是垂直纸面向外，式中B为无限长直导线电流所产生的磁场，由此上式可改写成：  
由图b，上式中，所以


 
本题也可由图c的几何关系进行变量替换：
          
由此   
积分得：    方向垂直纸面向外

【例14-5】真空中有一均匀带电的细长长薄壁圆柱面，圆柱面半径为R，电荷面密度为，当圆柱面绕其轴线以匀角速旋转，如图14-5a所示，求圆柱表面单位面积上所受的磁场力。



【解】我们先考虑圆柱表面上，面积上的运动电荷，在其表面两侧极靠近的磁感应强度和。
由于非常靠近，所以可看作为一平面。我们取如图b坐标，x为运动电荷的速度方向，z为圆柱轴线方向，在表面附近作为如图c的闭合回路。应用安培环路定律：
          
          
由于环路是对称的，所以与大小相同，方向相反，在时间内运动电荷穿过yz平面的距离为，则上式可写成  
     得        
由于整个圆柱面都在运动，其他运动电荷对表面附近也要产生磁场。设其他运动电荷在表面附近产生的磁感应强度为。不难理解。细长均匀带电圆柱面以匀速旋转时所产生的磁场分布，与无限长直螺线管产生的磁场分布应相同，也就是圆柱面外的磁场为零。由磁场迭加原理
               
 即          得：
再用圆柱面内的磁感应强度来验证一下的正确性。
     
这正与长直螺旋管内的磁感应强度相吻合因为，对面密度为的旋转圆柱面而言，它的相当于。
其他运动电荷产生的磁感应强度对面上的运动电荷的作用力
      
单位面积上的作用力
      
可见圆柱表面单位面积所受的安培力方向是沿半径向外的。
【例14-6】垂直于通电为的导线平面内，有一扇形线框，通电为尺寸位置如图14-6a所示。求这扇形线框所受的磁力矩。
【解】方法一，扇形线框的两弧线与电流产生的磁力线方向平行，所以不受力。而径向导线ab和cd垂直与磁力线所受的安培力大小相等，方向相反，对对称轴x轴产生磁力矩。在导线ab一电流元对x轴的磁力矩（参阅图a）
 

ab，cd两导线产生的磁力矩
 
    
    方法二，因为在线框内不均匀，线框所受的磁力矩不能之间用来求，但可将线圈如图14-6b分解成许多小扇形线框，小线框之间相邻的电流恰好抵消，小线框与大扇形线框相邻处电流一致。所以各小线框所受磁力矩的矢量和就是大扇形线框所受的磁力矩。其中任一小线框在磁感应强度为的磁场中所受的磁力矩
  
注意到是矢量，方向如图b所示。由对称性合力矩的方向沿着x轴，所以有
  
  
      
比较这两种解法可知，在非均匀磁场内用的方法仍然是正确的，特别要注意它的矢量性，否则容易出错，有时还是用电流元的安培力产生的磁力矩直接处理比较方便。
【例14-7】试求磁矩为p的磁偶极子在非均匀磁场内所受的磁场力，本题就图14-7a的一维情况下作计算。

【解】磁偶极子在非均匀磁场某一位置的磁通量
设磁偶极子在非均匀磁场内在磁场力作用下平移了dx一段距离，在新位置处的磁通量
     
在移动过程中磁力的功
 
即   
式中对图14-8a而言为负值，即指向x负方向。一般说来磁矩为的磁偶极子处在图14-8b的非均匀磁场中，它受到的磁力矩，使的方向要转向外磁场，又有上式可知它受的磁场力是磁感应强度的梯度方向，即指向强磁场方向。所以在非均匀磁场内的线圈在磁力矩和磁力的作用下都力图使线圈中的磁通量变大。
【例14-8】题图14-8a所示为均匀密绕的长直螺线管的一端，半径为R，O点为该端面的中心，螺线管单位长度上绕有n匝线圈，通有电流I。将一半径为r的小圆线圈置于o点，其磁矩垂直向下，试求小线圈受到的磁场力。


【解】由上例知，由此可知应先计算螺线管中心轴线上一点的磁感应强度       。
对于长直螺线管中心轴线上靠近端面中心的某点（见图b），该点坐标为（0,0,z），在，则，。端面近中心处的磁感应强度轴向分量
    
得：
由题知 
所以得 
这小线圈受到的是向上的斥力。