 【例12-1】如题图12-1a所示，平行放置两金属板A和B，面积为S，两板内表面间距为d，（d的线度远小于平行板边长的线度，也就是金属板带电后可忽略边缘效应）。（1）金属板A带电  时，B板不带电求两板间的电势差 。（2）金属板A带电 ，金属板B带电3时，求两板间的电势差 。（3）金属板A带电 ，金属板B接地，求两板间的电势差 。 |
   【解】（1） 我们先求A、B两板各个面上的电荷分布  。在图b中，由于B板原来不带电所以有  或  也就是由于B板。感应电荷对板外的合场强为零，所以A板的电荷分布不受B板的影响，因此得  AB板间的电势差  （2）给B板带电量3 时，我们重新求解AB各表面电荷面密度。由电荷守恒定律 （1） （2）我们取水平向右为场强的正方向，由场板迭加原理板A内的a点和板B内的b点的合场强为零即  （3） （4）解以上四式得     由场强迭加原理可得两板间的场强  亦可用高斯定理（如图b所示）；或直接用金属表面附近的场强公式  由此得AB板间电势差  （3）将B金属板接地，应注意B板接地并非B板不带电。而是指B板的电势为零。B板的电势为零，则  ；如果 ，则根据高斯定理必有电力线由B外侧穿出到无穷远处或到地。这样B板的电势不为零与B板接地相矛盾，因此，且B板外侧场强为零。应注意B板内侧  受到A极电荷产生的场影响， ，对B板内的任一点b的场强应为零，由场强迭加原理 所以  此时又必须满足A板内任意点a场强为零，由场强迭加原理和电荷守恒定律  可得   可见B板接地后，AB两板的电荷都分布在金属板内侧，此时两板间电势差  |
【例12-2】一接地无限大导体前面垂直放置一半无限长均匀带电线电荷密度为 的直线电荷，直线电荷的一端距导体平面距离密度为 ，如题图12-2所示求：（1）垂足o点处的感应电荷面密度； （2）平面上距o点  处P的感应电荷密度；（3）在感应面密度为  处的导体表面 的面积上感应电荷所受的电场力； |
 【解】（1） 半无限长直线电荷在垂足o处产生的场强  设垂足处导体板感应电荷密度为  ，导体板内的合场强为零，即  （2）半无限长带电直线在P点处产生的场强的  分量为 与（1）中情况相似，可得板内的场强为零，即  得  （请读者考虑用镜象法求解） （3）我们先求垂足处感应电荷所受的力   方向沿 正方向在位置P处感应电荷所受的电场力  沿 正方向。事实上，直接可代金属表面单位面积所受力的公式  同样可得上述结果。 |
【例12-3】如题图12-3a所示，一电容器的两极板都是边长为a的正方形金属板，两板不严格平行，而有一夹角 。证明，当 时略去边缘效应，它的电容 。 |
   【解】本题通常采用三种解法：（1）电容的并联；（2）电容的串联；（3）从电容的定义出发求解。前两种方法不尽合理，下面就这三种解法作些讨论。 方法一，用电容器并联公式求解 把图1的电容器看作大量细狭条的电容器元并联而成，其中任一电容器元的电容  总电容   由于题设 ，即 ，上式按泰勒级数展开 但应注意，这一解法的明显不妥之处有二：其一是每一电容  ，而应是两长直导线间的电容；其二是每一对对应狭条之间有自身电容，各狭条电容器元之间还存在着互电容。那么为什么这错误的观点能得出正确的结论呢？由于各狭条电容器元之间的自电容和互电容的相互影响，使两极板间的电力线几乎平行分布，相当于忽略了互电容，而将自电容 看作为平行板电容器，这两种错误观点正好互补，以至得出正确的结果，这种“错错得对”的处理方法还是不宜采用的。方法二，利用电容器的串联公式求解 如图b所示，补上一只与原来那只完全相同的电容器，与原来的那只相串联，串联后的电容  ，原来电容为串联后电容的2倍。 由于  ，上式可近似为看来这种解法很巧妙，实质上这种解法也是不妥的，因为这两只电容器串联后，中间的那块倾斜的金属板是个等势体，它将影响电力线的分布，电力线并非均匀的平行直线，而每只电容器的电力线应如图3所示的那样分布，因此  ，那么为什么这种方法也能得出正确的结果呢？因为题设，电力线的不均匀性不明显，仍近似看作平行直线，相当于把中间倾斜的金属板拿掉了，忽略边缘效应，得出了这种近似下的C后，再经数学的近似处理，正好把答案“凑”对了。因此，这种方法仍不宜采用。方法三，从电容器的定义出发求解 设电容器带电量Q后，两极板的电势差为U，两极板的延长面交线为O轴，由静电场回路定律可知，两极板靠近的那端的电力线比另一端要密，电力线接近于圆弧，如图c所示，在离O轴r处的场强E可表示为  设极板上离O轴距离r处的电荷密度为 ，则  比较以上两式得  极板上的总电量    由于 ，将上式按泰勒级数展开  由电容器电容的定义   得证。这第三种方法计算稍繁一些，但比较严谨合理。 |
【例12-4】如题图12-4a所示，半径 =1厘米的导体球带有电量 库仑的电量。球外有一内外半径 =3厘米， =4厘米的同心导体球壳，壳上带有电量 库仑。求：（1）内球的电势  ，外球壳的电势 ；（2）将内球接地，在外球离地面很远的情况下，外球壳的电势 '为多少？ |
【解】（1）在导体球壳内作包围球壳内表面的高斯面S。球壳内表面感应电荷 应满足高斯定理：
 由于导体壳内的  ，所以有 ，即
 再有电量守恒定律可知，在 球壳外表面上带电量为 ，这带电系统的电荷分布如题图11-4b所示，由电势迭加原理可求得：    伏  伏（2）内球接地，指的是内球电势为零（不是内球的电量为零）。设接地后内球带电为 ，类似于图b的电荷分布，只需将换成即可，得： 解得：  库仑此情况下导体外壳的电势  伏方法二，可将半径 和两球面看作为球形电容器，它的电容量 将 的球面由无穷远处组成相当于孤立导体的电容
 球壳是两电容的共同极板，内球接地，与无穷远处的电势都为零，也相当于共同极板，所以可看作  和 并联。所以，共同带正电的极板Q处，它的电势   伏
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【例12-5】已知两个同心金属球壳的内外半径， （ 中间充满电导率为 的材料，电导率是随外场强变化的，且 ，其中 为常数，现将两球壳维持恒定的电压 ，求两壳间的电流。 |
【解】由欧姆定律微分形式  又由题设条件 ，所以有  在半径  处的总电流  由此得 处的电场强度  两球壳 和间的电势差  由此解得  |