 【例11-1】半径为R的半球面上均匀带电，带电量为Q。求圆心处的场强。 |
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【解】我们先在半球面上取一细环，细环上的电荷  细环在轴线上产生的场强   |
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| 【例11-2】在圆平面对称轴上有一点电荷q，q与圆平面的几何尺寸位置如图11-2a所示。求：q的电力线穿过圆平面的通量。 |
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   【解】 方法一：如图11-2b所示电力线穿过圆平面上细圆环 ds的通量（在以下计算过程中，应注意到图中x是常量。）      式中  如图c中所示。方法二：如图c所示，穿过圆平面的电通量与穿过图示球冠的电通量相等。穿过包围点电荷q闭合球面的总电量为  ，再由球冠面积S=2 占总球面面积 中的比率，就可求出球冠的电通量。由此求得圆平面的电通量：
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【例11-3】一半径为 的无限长带电圆柱体，其体电荷密度 ，其中 为常数， 为离圆柱体轴线的距离。试求：（1）圆柱体内外各处的电场强度。 （2）求出场强最大值的位置在何处，场强多大？ （3）求轴线处的电势。 |
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【例11-4】一厚度为 的无限大平板型区域中均匀分布着电荷，电荷体密度为 。（1）求板内外场强的分布，并画出场强分布曲线  ；（2）若取中心面的电势为零，试求任意位置处的电势，并画出相应的电势分布曲线  。 |
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曲线分布图11-4c下面再看一看这场强曲线和电势曲线间的相互关系。 在  的区域场强 沿 正方向；在 的区域场强是沿着的负方向。场强的方向应是电势降落的方向，在 处 ，因此整个区域内的电势都为负值。还应注意到电势曲线上的斜率的负值应等于场强的大小，也就是场强大的位置电势曲线的斜率大，即电势的变化率大，场强小的地方电势的变化率小。场强为零的位置为电势的极值位置。 |
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【例11-5】电荷密度均匀为的球体内，有一球形空腔，如题图11-5a所示，我们将坐标原点建立在球心上，空腔球心的位置矢量为 。（1）试求空腔内任意点的场强。 （2）若球体半径为  ，空腔半径为 ，试求空腔球心处的电势 |
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【解】（1） 我们采用补偿方法来求解，设想原球体没有空腔，为正体电荷  充满，而再设想在空腔位置放体电荷 的球体，正、负体电荷相消，相当于一空腔。利用高斯定理可求均匀带电（没有空腔的）球体内的任意点的场强。    写成矢量式：  同理可证负电荷均匀带电球体，在位置矢量  处产生的场强 在空腔内任意点  处的场强，为均匀带电正负球体场强的矢量和（见图b） 可见空腔内为一均强电场，电场的方向与 方向相同。（2）我们先求没有空腔时球体半径为  的球体处的电势。 没有空腔情况下正电荷均匀带电球体在位置矢量 处的电势 均匀带体电荷 的球体对球心产生的电势为 由此我们由电势迭加原理求得空腔球心处的总电势  |
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【例11-6】已知电场中的电势随x的变化曲线如题图11-6a所示，其中 区间内的曲线是抛物线，AB和CE分别是抛物线上A点和C点处的切线。（1）画出  区间内的电场分布曲线；（2）试求 区间内的电荷分布。 |
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| 【解】（1）根据场强为电势的负梯度关系： 在  ， 的区域， 。在 区域电势曲线为抛物线，作为它的负梯度，场强曲线为直线，直线两端的场强分别为 ， ，相应的场强函数为： 由此可画出场强E随x变化的曲线图b。   （2）根据高斯定理，静电荷是电力线的源头或尾间。由电场分布可见。  、 处出现场强突变，该处应有面电荷， 之间场强线性变化，该区域有体电荷。作圆柱形高斯面  ，其左底面在处的左侧，其右底面在处的右侧，见图b，其左、右底面上场强分别为 、0。由高斯定理： 得面电荷密度：  同法求解  处面电荷密度，对高斯面 有  作圆柱形高斯面  ，见图b，两底面均在区间内，对应用高斯定理： 移项整理并取极限，得   可见在 区间内电荷体密度是与位置无关的均匀负电荷。
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（1）
可通过体电荷积分求得：
（2）
时，
为正，即沿半径方向向外
时，即圆柱体外场强为0
处场强最大，代入（2）式得场强的最大值
得：
，由高斯定理
， 得 
， 得 
