【例6-1】质量为m的木板，压在一轻弹簧上，弹簧的静压缩为 ，木板静止在平衡位置处；在木板上方高 处自由落下一与木板质量相同的泥块，它与木板作完全非弹性碰撞，（1）写出碰撞后木板的运动方程。 （2）求从泥块与木板相碰到它们第一次回到相碰位置所用的时间。 （3）求任一位置处泥块与木块间的相互作用力。 |
  【解】（1）题为竖直放置的弹簧振子，其解为：  本题就是根据具体的条件确定谐振动方程中的  和 。  再由初始条件确定  和。碰撞后泥块与木板的平衡位置已不是原来木板的平衡位置了，而应满足：  得：  即在原来木板平衡位置下方  位置处，我们如图b取坐标，新的平衡位置为坐标原点，x轴向下，则泥块与木板碰撞瞬时的位置 。泥块与木板碰撞瞬时满足动量守恒定律：  即  ，得  由此得：   得：  或  因为  时 为负， 为正应取：  或取 这里如果用参考圆的方法，由图c就一目了然了。碰撞后木板的谐振动方程为：    （2）木板经过最低点第一次回到原来位置  应有  即  那么 
 分析上式  为大于零的最小值应： 即：  用上解析分析是比较麻烦的，如采用参考圆就方便许多了，再参见图6-1c，可见 ， 为负，为第二象限角，又参考圆半径为 ，所以 。参考圆旋转矢量以匀角速度  转动，可求得： 事实上从参考圆中可以看出旋转矢量矢端转过  个圆周，所以用时为： （3）泥块的分离体受力图如图所示，列出相应的牛顿力学方程：  相互作用力  可见x取正，即在平衡位置下方，相互作用力比泥块的重量大；而x取负，即在平衡位置上方相互作用力比泥块小。 在最下方  时最大相互作用力：  在最上方  时最小相互作用力  由此可知在整个谐振动过程中泥块不会跳离木板。 本题如坐标向上取，请读者考虑一下计算的结果有何不同？ |
【例6-4】如果水平光滑桌面上放着质量为 和 的二物块。它们之间被一根倔强系数为 的轻弹簧连接着，试求该系统的振动周期。 |
【解】方法一，取如图a所示的坐标，设弹簧原长为 ，系统在振动过程中某时刻物块和的坐标分别为 和 ，如图所示，分别对和列出运动微分方程。  
（1）
（2）又  （1）式（2）式分别改写成：  （3） （4）（4）式减（3）式：  令  上式可改写为： 由此得该系统的谐振动周期：  方法二，在质心坐标系解：我们先讨论一下弹簧的长度与倔强系数的关系，设弹簧原长为 ，剪短以后的弹簧长为 ，在相同力 作用下，剪短后的弹簧的伸长量为 ，就要比原弹簧来得小。由弹簧的倔强系数定义：原来弹簧的倔强系数：  剪短后弹簧的倔强系数：  上二式相比余：  可知同一种弹簧它的倔强系数与它原长成反比。 由题意可知，弹簧对 和的作用力是系统的内力，系统在谐振动过程中质心 的位置相当于被固定不动，作用于的弹簧长度 又根据上面讨论 所以作用于 物块的弹簧倔强系数 所以对于质量为 物块的弹簧振子的振动周期 同理 的弹簧振子周期  方法三，能量法解： 仍取如a图的坐标系，系统总机械能为：  上式对时间  求导得： 即  （5）由于系统合外力等于零，系统动量守恒，因此  ，即
 将（5）式除以  ，得： 即  令  ，上式与方法一中的微分方程一样，同样得： |
【例6-5】某弹簧振子在真空中自由振动的周期为 ，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来的90%，求（1）求振子在水中的振动周期  （2）如果开始时振幅  厘米，阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少？ |
【解】（1）由题意知   又阻尼振动的圆频率：  即  即  从本题解中可知阻尼因子对振幅的影响是比较大的，而对振动的周期影响却很小，有时甚至可以忽略不计。 （2）在整个阻尼振动过程中，振子所经过的路程可近似地表示为：  |
【例6-6】试画出 和 的李萨如图形： |
【解】一般采用参考圆的方法来确定任一时刻振动质点的坐标，具体做法如题图所示。
|
| |