例题2-7-1 按经典原子理论，认为氢原子中的电子在圆形轨道上绕核运动。电子与氢原子核之间的静电力为 ，其中 为电子或氢原子核的电荷量， 为轨道半径， 为常量。因为电子的角动量具有量子化的特征，所以电子绕核运动的角动量只能等于 的整数（ ）倍［ 是一常数，叫做普朗克（M. Planck）常量］，问电子运动容许的轨道半径等于多少?
解: 设电子的质量为 ，绕原子核运动的圆轨道半径为 ，速度为 ，那么电子的向心加速度 。由于作用在电子上的向心力就是原子核对电子的静电引力，于是由牛顿第二定律得
 （1）
由于电子绕核运动时，角动量具有量子化的特征，即
  （2）
由式(1)和式(2)两式，得
 （3）
由上式可知，电子绕核运动容许的轨道半径与 平方成正比。这就是说，只有半径等于一些特定值的轨道才是容许的，轨道半径的量值是不连续的。
将各常量的值代入式（3），并取 ，得最小的 值：
从原子物理学中知道，这一量值与用其他方法估计得到的量值符合得很好。
|
